《可降阶的微分方程》类型及典型问题求解思路与方法
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可降阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题,针对于一般教材中只讨论了二阶的类型,可以扩展为如下三种类型:
类型(1): y(n)=f(x)
通过对右端项关于x变量n次不定积分,得到包含有n个相互独立的任意常数的通解。
类型(2):F(x,y(n-1),y(n))=0
令u(x)= y(n-1),得一阶微分方程,
F(x,u,u’)=0.
通过求解一阶微分方程的方法,求解该微分方程得u(x),问题转换为类型(1):
y(n-1)=u(x),
通过对其右端项关于x变量n-1次不定积分,即得最终的通解。
类型(3):F(y(n-2),y(n-1),y(n))=0,其中y(0)=y(x)
令u(x)= y(n-2),得到二阶微分方程,即
F(u,u’,u’’)=0.
对于具有这类结构的微分方程,由于其不显含有x变量,由于x=x(u),所以可以令u’=p(u),从而有u’’=p’(u)p,将原方程转换为关于u为自变量的一阶微分方程
F(u,p, p’p)=0
利用求解一阶微分方程的方法求解该微分方程p(u),代入u’(x)=p(u),这是一个以u为函数,x为自变量的一阶可分离变量的微分方程,求解该一阶微分方程可得u(x),于是问题转换为类型(1):
y(n-2)=u(x),
通过对其右端项关于x变量n-2次不定积分,即得最终的通解。
【注1】从以上类型及其求解方法可以看到:可降阶的微分方程可以归结为一阶微分方程!它们的求解都是通过逐次一阶微分方程求解来实现的!因此,《高等数学》教材对于常微分方程的研究对象大的分类就两类,一阶微分方程和线性微分方程。
【注2】实际中会借助微分的形式不变性和复合函数求导运算法则,也借助于换元法转换类型为以上类型或相应的一阶微分方程来计算。
【注3】高阶微分方程初值问题的求解,一般采取边求解,边确定任意常数的步骤进行,这样在一定程度上可以减少一定的计算量;同时,在计算过程中要充分利用等式所具有的一些特殊结构,达到化简计算的目的。
参考课件节选:
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